5. Interpolation des fonctions
Comme nous l'avons signalé, l'interpolation linéaire était déjà utilisée par l'école d'Alexandrie. C'est Briggs qui systématisa l'emploi de l'interpolation pour l'établissement des tables de logarithmes et des tables trigonométriques, via le calcul des différences finies. Gregory et Newton étendirent le calcul des différences finies aux fonctions quelconques. Newton distingue le cas des pas constants du cas général, où il introduit la notion de différence divisée. L'étude de l'interpolation d'une fonction par un polynôme de degré inférieur à un entier donné est approfondie par Lagrange, en liaison avec celle des opérateurs aux différences finies, pour laquelle il introduit la notion fondamentale de série génératrice. Enfin, Laplace (1749-1827) étudie systématiquement ces séries et les applique dans des secteurs très variés (calcul des probabilités, équations aux différences finies, combinatoire).
Tous les calculs précédents sont de type formel. Cependant, Cauchy évalue l'erreur commise en remplaçant une fonction f définie sur un intervalle [a, b] par le polynôme P interpolant f en des points α0, α1, ..., αn :
À propos d'une question de mécanique (régulateur de Watt), Tchebychev est amené à rechercher l'optimisation de l'approximation de f par P, n étant donné. Cela revient à choisir les points α0, α1, ..., αn de sorte que :
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