3. Valeurs approchées d'une fonction en un point
Pour calculer les valeurs des fonctions transcendantes élémentaires, Newton puis Euler utilisent les développements en série entière de ces fonctions. On en trouve de nombreux exemples dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale. La méthode suivie par Euler est de type expérimental : pour obtenir la somme d'une série numérique convergente avec vingt décimales, il calcule les termes successifs en s'arrêtant au premier terme inférieur à 10-20. En particulier, il calcule le nombre e avec vingt-trois décimales :
Dans le cas où la série donnée ne converge pas assez rapidement, Euler effectue des transformations sur cette série pour accélérer la convergence : il applique de tels procédés au calcul de log(1 + x) et de Arctg x. En particulier, il obtient des méthodes très efficaces pour le calcul approché du nombre π, qu'il obtient avec cent vingt décimales. En voici les premières :
Dans La Théorie des fonctions analytiques, Lagrange reprend les calculs précédents mais il établit des majorations des restes des séries considérées. De telles majorations ont joué un rôle important dans la construction du concept de convergence des séries, comme il apparaît dans le Cours d'analyse déjà cité de Cauchy.
[…]… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 8 pages…
