9. Formule de Taylor
Nous allons maintenant établir le dernier « grand » résultat de l'analyse infinitésimale, à savoir la formule de Taylor, qui permet, au voisinage d'un point, de remplacer une fonction « suffisamment régulière » par un polynôme qui lui est « approximativement » égal.
Soit f une fonction définie dans un intervalle ouvert X. Nous dirons que f est de classe C1 dans X si elle admet une dérivée f′(x) en tout point de X, et si celle-ci est fonction continue de x. Si f′ est elle-même de classe C1, on dit que f est de classe C2 ; on peut alors attribuer à f une dérivée seconde continue f″ = ( f ′)′. En poursuivant ainsi de proche en proche on définit de façon évidente les dérivées successives, et la notion de fonction de classe Cp, c'est-à-dire admettant dans X des dérivées continues jusqu'à l'ordre p inclusivement.
Supposons f de classe C1 dans X, et appliquons le théorème 10 à la fonction continue f′ ; on trouve que :
Soit maintenant u et v deux fonctions de classe C1 dans X ; la fonction w = uv l'est aussi et sa dérivée est donnée par la formule w′ = u′v + uv′, que nous avons déjà indiquée après l'énoncé du théorème 11. On en déduit que :
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