8. Théorème du maximum
Comme nous allons le voir, il suffit pour cela d'établir le résultat suivant :
Théorème 12. Soit F une fonction définie et continue sur un intervalle compact X. Il existe un c′∈X tel que l'on ait F(x) ≤ F(c′) pour tout x ∈ X, et un c″∈ X tel que l'on ait F(c″) ≤ F(x) pour tout x ∈ X.
Avant d'établir le théorème 12, montrons comment il implique le théorème 11 bis. Tout d'abord la fonction F du théorème 11 bis, étant dérivable en tout point de X, est continue. En effet, pour tout t ∈ X, il existe, d'après les relations (21) et (22), que l'on écrira pour p = 0, des nombres h′ et h″ tels que l'on ait h′ < 0 < h″ et tels que :
Cela dit, le théorème 12 s'applique à F, d'où des points c′ et c″ dans X tels que l'on ait F(c″) ≤ F(x) ≤ F(c′) pour tout x ∈ X. Si l'on a a < c′ < b, la condition (30) est réalisée ; si l'on a a < c″ < b, la condition […]
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