7. Théorème des accroissements finis
Il nous faut maintenant démontrer le théorème 9, c'est-à-dire prouver que l'on a F(a) = F(b), quels que soient a et b dans X. L'idée de la démonstration est d'une extrême simplicité, et fort ingénieuse. Elle consiste à observer que, si l'on contemple le graphe F dans l'intervalle ]a, b[, on peut trouver un point c de cet intervalle où la tangente au graphe de F est parallèle à la « corde » joignant les points (a, F(a)) et (b, F(b)) du graphe ; si F(a) ≠ F(b), cette corde n'est pas horizontale, la tangente en c non plus, et l'on a par suite F′(c) ≠ 0, contrairement à l'hypothèse !
Mais ce raisonnement purement géométrique doit être rendu rigoureux grâce à une démonstration effective de l'existence du point c en question. Noter que la pente de la corde joignant les points (a, F(a)) et (b, F(b)) est égale à :
Nous sommes donc ramenés, pour établir le théorème 9, à établir le résultat bien plus utile encore que voici :
Théorème 11 (formule des accroissements finis). Soit F une fonction dérivable dans un intervalle compact [a, b]. Il existe un point c ∈ ]a, b[ où l'on a :
(Par une fonction dérivable sur [a, b] nous entendons une fonction qui admet une dérivée en tout point x tel que a < x < b, ainsi qu'une dérivée à droite en a et une dérivée à gauche en b. On démontre souvent le théorème 11 sans supposer l'existence de ces dérivées en a et b.)
Notons d'abord qu'il suffit d'établir le théorème 11 pour les fonctions F telles que F(a) = F(b). Supposons-le en effet établi moyennan […]
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