6. Détermination d'une fonction par sa dérivée
Soit F et G, deux fonctions admettant en un point t des dérivées F′(t) et G′(t) ; on voit facilement qu'alors les fonctions F + G, F − G et FG admettent aussi, au point t, des dérivées données par des formules simples, et égales respectivement à :
La meilleure façon d'établir ces résultats est d'utiliser la notation de Landau (cf. calculs asymptotiques) et d'écrire, ce qui est clair d'après (19), qu'une fonction F admet au point t une dérivée égale à b si et seulement si l'on a la relation :
Cela dit, et en nous bornant aux fonctions dérivables pour éviter des complications secondaires (mais les résultats que nous allons établir seraient encore valables, moyennant des modifications triviales, pour des fonctions admettant partout des dérivées à droite et à gauche), considérons deux solutions F1 et F2 de l'équation (24) ; la fonction F = F1 − F2 admet alors dans l'intervalle X considéré une dérivée :
On est alors amené à établir le résultat suivant :
Théorème 9. Soit F une fonction définie dans un intervalle X et admettant, en tout point de X, une dérivée égale à 0. Alors la fonction F est constante d […]
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