5. Intégration et dérivation
Soit X un intervalle quelconque, et f une fonction réglée dans X, c'est-à-dire qui admet des limites à gauche et à droite en chaque point de X. Choisissons une fois pour toutes un point a de X. Pour tout t ∈ X, la fonction f est réglée et donc intégrable dans l'intervalle compact d'extrémités a et t. Nous nous proposons d'étudier la fonction F définie sur X par les formules suivantes :
Notons qu'en convenant de définir :
on a :
nous dirons que F est la
primitive de f au point a. On a évidemment F(
a) = 0.
Les deux outils essentiels pour l'étude de F sont d'une part l'inégalité (10) démontrée plus haut, et d'autre part la relation :
valable quels que soient
a,
b,
c ∈ X, et dont l'analogie avec la célèbre « relation de Chasles » :
de la théorie des segments de droite orientés est évidente. La démonstration de (17) consiste d'abord à utiliser la relation (16) et des calculs triviaux pour ramener la démonstration de (17) au cas où l'on a
a ≤
c ≤
b ; on vérifie alors (17) immédiatement lorsque
f est une fonction étagée en utilisant la définition (1) de l'intégrale, puis on passe de là au cas général en appliquant (17) à des fonctions étagées « très voisines » de
f, et en utilisant des arguments d'approximation analogues à ceux qui nous ont servi pour établir par exemple le théorème 4. Intuitivement, la relation (1 […]
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