4. Caractérisations des fonctions réglées
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle X, et Y un intervalle (ou un ensemble) contenu dans X. Nous dirons que f est constante à 10-p près sur Y s'il existe un nombre c tel que l'on ait |f (x) − c| ≤ 10-p pour tout x ∈ Y.
Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle compact X. Pour que f soit réglée dans X il faut et il suffit que pour tout entier p, on puisse partager l'intervalle X en un nombre fini d'intervalles partiels X1, ..., Xn tels que f soit constante à 10-p près dans chaque Xi.
C'est presque la définition. Si en effet on peut trouver, pour chaque Xi, une constante ci telle que |f (x) − ci| ≤ 10-p pour tout x ∈ Xi, on peut immédiatement construire deux fonctions étagées ϕ′ et ϕ″ vérifiant ϕ′ ≤ f ≤ ϕ″ et ϕ″ (x) − ϕ′ (x) ≤ 2.10-p pour tout x ∈ X, à savoir les fonctions qui dans chaque Xi, sont respectivement égales à ci − 10-p et à ci + 10-p. Inversement, si f est réglée, il est possible de réaliser les conditions (8) ci-dessus, puis de partager X en intervalles sur chacun desquels ϕ′ et ϕ″ sont constantes, et sur chacun desquels f est, par suite, constante à 10-q près.
Dans la pratique, on a besoin de caractériser les fonctions réglées par un critère exprimant que leur comportement « au voisinage de chaque valeur de la variable » est assez simple pour que f (x) n'oscille pas d'une manière incontrôlable lorsque x se rapproche de plus en plus d'une « limite » donnée. Cela va nous obliger à développer quelques considérations sur les valeurs limites d'une fonction.
Soit f une fonction réglée sur un […]
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