3. Intégration des fonctions réglées
Considérons maintenant le cas général ; nous ne supposons plus que la fonction f soit étagée, mais nous supposerons, pour éviter des difficultés secondaires, qu'elle est bornée, c'est-à-dire qu'il existe un nombre M tel que l'on ait − M ≤ f (x) ≤ M pour tout x ∈ X ; pour le moment, supposons aussi f (x) ≥ 0 pour tout x. Soit ϕ′ et ϕ″ des fonctions étagées telles que l'on ait 0 ≤ ϕ′(x) ≤ f (x) ≤ ϕ″(x) pour tout x (il en existe : prendre ϕ′(x) = 0 partout, et ϕ″(x) = M partout, par exemple). L'aire limitée par l'axe des x et le graphe de f contient l'aire analogue relative à ϕ′, et est contenue dans l'aire analogue relative à ϕ″ ; si l'on peut attribuer un sens raisonnable à l'intégrale I( f ) de la fonction f, on doit donc avoir la relation :
On est alors conduit, que f soit ou non positive, à introduire deux ensembles E* et E* de nombres réels : le premier sera formé des x tels qu'il existe une fonction étagée ϕ′ sur X telle que l'on ait x = I(ϕ′) et ϕ′ ≤ f (c'est-à-dire ϕ′(t) ≤ f(t) pour tout t ∈ X) ; le second sera l'ensemble des nombres réels x pour lesquels on peut trouver sur X une fonction étagée ϕ″ vérifiant les relations f ≤ ϕ″, et x = I(ϕ″). La relation (6) exprime que le nombre I( f ) cherché est supérieur à tout x ∈ E*, et inférieur à tout x ∈ E*. Or l'ensemble E* est borné inférieurement et E* l'est supérieurement (les éléments de E* sont évidemment inférieurs à ceux de E*, puisque la relation ϕ′ ≤ ϕ″, pour des fonctions étagées, implique visiblement l'inégalité I(ϕ′) ≤ I(ϕ″) entre leurs intégrales). Si nous désignons par m la borne supérieure de l'ensemble E*, et par M la borne inférieure de l'ensemble E*, la relation (6) exprime que l'intégrale cherc […]
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