2. Intégrale d'une fonction étagée
Considérons, sur un intervalle compact X = [a, b], une fonction f (x) à valeurs réelles ; nous la supposerons même, pour le moment, à valeurs positives. Si l'on trace le graphe de f, on obtient dans le plan une « courbe », l'ensemble des points (x, y) tels que l'on ait x ∈ X et y = f (x), qui délimite avec l'axe des abscisses et les verticales des points a et b une portion de plan dont on se propose de calculer la surface (dans l'hypothèse où la portion en question serait assez simple pour que l'on puisse attribuer une signification à ce calcul).
Les surfaces les plus simples à calculer sont celles des rectangles. On est ainsi amené à envisager d'abord un cas particulier, celui où l'on peut découper l'intervalle donné X en intervalles partiels X1, ..., Xp tels que la fonction f (x) prenne, dans chaque Xk, une valeur constante ak ; noter que nous n'excluons aucunement le cas où certains Xk se réduiraient à un point, et que nous n'imposons pas aux Xk d'être compacts − certains Xk peuvent contenir leurs extrémités, d'autres ne pas les contenir. Le graphe de la fonction f se compose alors de segments de droite horizontaux, et on dit que f est une fonction étagée. La portion de plan comprise entre le graphe et l'axe des x est alors réunion de p rectangles ayant pour bases les intervalles Xk, et pour hauteurs les valeurs ak correspondantes. Supposant, ce qui est permis, les intervalles Xk deux à deux disjoints (c'est-à-dire sans points communs), nous appellerons alors, par définition, intégrale de f sur l'intervalle X le nombre :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 16 pages…
