3. La théorie fine contemporaine
• L'œuvre de H. Whitney
Le mathématicien américain Hassler Whitney, dont la contribution à des branches très variées des mathématiques a été souvent décisive (théorie des graphes, topologie algébrique et différentielle, axiomatisation de la notion de variété ou de produit tensoriel, étude des ensembles analytiques réels, etc.), est le véritable initiateur du renouveau du calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. Parmi ses contributions, citons :
Le théorème du prolongement (1934). En chaque point d'un ensemble fermé F quelconque de Rn on se donne un polynôme à n variables de degré inférieur ou égal à m. Whitney énonce une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel champ de polynômes soit la restriction à F du champ des polynômes de Taylor d'une fonction f de classe Cm. Ce théorème permet, en particulier, de construire des fonctions f de classe Cm ayant certaines singularités données à l'avance : on commence par se donner l'ensemble F des points singuliers puis l'on cherche à prolonger un champ de polynômes défini sur F. Indiquons que ce théorème est encore valable pour m = ∞. Un cas particulier très important est celui où F se réduit à un seul point ; on obtient le théorème d'É. Borel généralisé à n variables : « Il existe une fonction f de classe C∞ dont les dérivées partielles prennent en un point donné des valeurs arbitrairement choisies. » En d'autres termes, la série de Taylor d'une fonction de classe C∞ peut être n'importe quelle série formelle.
Caractérisation des idéaux fermés de fonctions différentiables. L'ensemble des fonctions numériques de classe Cm définies sur un pavé compact K constitue une algèbre de Banach (lorsque m est fini) pour la norme de la convergence uniforme d'ordre m (c'est-à-dire de la convergence uniforme de chacune des dérivées partielles). La structure des idéaux de cette algèbre est d'une grande complexité, mais H. Whitney a démontré, en 1944, le théorème suiv […]
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