2. Exposé moderne de la théorie élémentaire
• Dérivée première
Soit E et F deux espaces normés, et Ω un ensemble ouvert de E : on dit que deux fonctions continues f et g (définies sur Ω et à valeurs dans F) admettent un contact d'ordre r (où r est un nombre entier) au point A ∈ Ω si le rapport :
tend vers 0 lorsque M tend vers A. En particulier, lorsque
r = 1 on dit que
f et
g sont
tangentes au point A ; cette définition implique que
f (A) =
g (A).
Une fonction continue f (définie sur Ω et à valeurs dans F) est dérivable en A ∈ Ω, s'il existe une fonction continue affine :
(où L est une application linéaire continue de E dans F, c'est-à-dire un élément de
L(E,F) qui est tangente à
f au point A). L s'appelle aujourd'hui la
dérivée de
f au point A (dans l'ancienne terminologie, c'était la «
différentielle au sens de Stolz-Fréchet » ou plus brièvement la
différentielle de
f au point A). On la note d'ordinaire D
1f (A). Lorsque
f est dérivable en tout point de Ω, la fonction dérivée est l'application A ↦ D
1f (A) définie dans Ω et à valeurs dans
L(E,F). On dit que
f est
continûment dérivable (ou encore de
classe C
1) si la fonction dérivée est continue, lorsqu'on munit
L(E,F) de sa norme usuelle :
Dans le cas particulier où E = Rn et F = R, toute fonction de classe C1 admet des dérivées partielles continue […]
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