3. Instruments de travail
• Lois de répartition
La fin du chapitre précédent a attiré l'attention sur le cas où (Ω1, B1) est l'espace Rn muni de la tribu borélienne. Dans ce cas, l'ensemble (X1, ..., Xn) des n coordonnées d'un point constitue la variable aléatoire et l'on peut introduire une fonction de n variables x1, ..., xn :
On lui donne le nom de loi de probabilité (ou fonction de répartition) de la variable aléatoire considérée. C'est une fonction non décroissante de l'ensemble des n coordonnées. Dans le cas d'une coordonnée, la fonction F(x) non décroissante se décompose, selon le résultat classique de Lebesgue, en une somme :
de trois fonctions non décroissantes, où F
1 est la fonction des « sauts » (c'est-à-dire qu'elle est constante en dehors des points de discontinuité de F, dont l'ensemble est au plus dénombrable, et qu'elle a en ces points de discontinuité une variation, un « saut » égal à celui de F). La fonction F − F
1, qui est donc continue, se décompose en une somme de deux fonctions non décroissantes ; d'abord F
3,
absolument continue, c'est-à-dire égale à une intégrale de la forme suivante :
puis F
2, égale naturellement à F − F
1 − F
3, qui sera non décroissante continue mais non absolument continue ; on prendra F
2 telle qu'elle ne soit susceptible de variation que sur un ensemble de
mesure nulle. Un exemple classique de cette dernière situation est la fonction attachée à l'ensemble triadique de Cantor : le […]
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