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PROBABILITÉS CALCUL DES

Instruments de travail

Lois de répartition

La fin du chapitre précédent a attiré l'attention sur le cas où (Ω1, B1) est l'espace Rn muni de la tribu borélienne. Dans ce cas, l'ensemble (X1, ..., Xn) des n coordonnées d'un point constitue la variable aléatoire et l'on peut introduire une fonction de n variables x1, ..., xn :

On lui donne le nom de loi de probabilité (ou fonction de répartition) de la variable aléatoire considérée. C'est une fonction non décroissante de l'ensemble des n coordonnées. Dans le cas d'une coordonnée, la fonction F(x) non décroissante se décompose, selon le résultat classique de Lebesgue, en une somme :

de trois fonctions non décroissantes, où F1 est la fonction des « sauts » (c'est-à-dire qu'elle est constante en dehors des points de discontinuité de F, dont l'ensemble est au plus dénombrable, et qu'elle a en ces points de discontinuité une variation, un « saut » égal à celui de F). La fonction F − F1, qui est donc continue, se décompose en une somme de deux fonctions non décroissantes ; d'abord F3, absolument continue, c'est-à-dire égale à une intégrale de la forme suivante :
puis F2, égale naturellement à F − F1 − F3, qui sera non décroissante continue mais non absolument continue ; on prendra F2 telle qu'elle ne soit susceptible de variation que sur un ensemble de mesure nulle. Un exemple classique de cette dernière situation est la fonction attachée à l'ensemble triadique de Cantor : le nombre x étant compris entre 0 et 1, on l'exprime dans le système de base 3, soit :
où ai est égal à 0, 1 ou 2. Considérons tous les x qui peuvent s'exprimer uniquement avec des ai égaux à 0 ou 2 (dans le cas où deux représentations sont possibles, on retiendra x si l'une des deux représentations ne comporte que des 0 ou des 2). Pour un tel x, posons :
en base 2, avec bi = 0 si ai = 0 et bi = 1 si ai = 2 ; en dehors de l'ensemble des x considérés, la fonction G sera constante. Cette fonction est continue et ne peut pas être représentée par une intégrale, car elle n'est pas absolument continue.

La décomposition F = F1 + F2 + F3 est unique ; bien entendu, une ou deux des fonctions Fi peuvent être nulles.

La définition :

et les axiomes auxquels obéit p entraînent que F est continue à gauche, c'est-à-dire que F(x) = F(x − 0). La donnée de la fonction de répartition permet de calculer la valeur de la probabilité de tous les ensembles probabilisables. C'est donc un instrument de travail essentiel.

Fonction caractéristique

Parallèlement à la fonction de répartition, le calcul des probabilités utilise la fonction caractéristique, introduite par H.  Poincaré, puis, sous sa forme actuelle, par P. Lévy, donnée par l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes :

Le passage de la fonction ϕ à la fonction F se fait par l'intermédiaire de la formule d'inversion de Fourier. Si la fonction de répartition est continue sur la frontière du pavé :

on a :
où :
si la fonction de répartition n'était pas continue sur la frontière, cette égalité devrait subir les modifications habituelles de la théorie de la transformation de Fourier (cf. analyse harmonique).

La fonction caractéristique possède plusieurs propriétés qui rendent son emploi fréquent en calcul des probabilités. La première propriété est topologique : Si une suite F1, F2, ..., Fn, ... de fonctions de répartition converge en tout point de Rn vers une fonction de répartition limite F, alors la suite ϕ1, ..., ϕn, ... des fonctions converge, uniformément, dans tout domaine borné contenant l'origine, vers la fonction caractéristique ϕ de F. Cet énoncé admet la réciproque suivante, souvent utilisée : Si en tout point de Rn la suite ϕ1, ..., ϕn, ... converge vers une fonction[...]

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Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par Jean-François QUINT
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par Georges BLUMBERG
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par Jean-Pierre AUDINOT, Universalis, Jacques GARNIER
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
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Voir aussi

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