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PROBABILITÉS CALCUL DES

Quelques problèmes simples

Problème de l'aiguille de Buffon

Dans le volume VII du Supplément à son Histoire naturelle, Buffon aborde assez curieusement de nombreux problèmes de calcul des probabilités et de statistique (en particulier, il est parmi les premiers à avoir dressé des tables de mortalité). L'un des plus célèbres est celui de l'aiguille, dont l'énoncé est le suivant : Sur un plan sont tracées des droites parallèles distantes de h. On jette « au hasard » sur ce plan une aiguille de longueur l, avec l < h ; quelle est la probabilité pour que cette aiguille rencontre l'une des droites ?

Il convient de préciser ce que l'on entend par « au hasard » dans un tel problème, comme d'ailleurs dans bien d'autres, ainsi que nous le verrons plus loin. « Au hasard » veut dire ici que la probabilité pour que le milieu de l'aiguille tombe dans une région donnée est proportionnelle à l'aire de cette région et que l'orientation de l'aiguille, qui est indépendante de la position du milieu, obéit aussi à une loi uniforme : la probabilité pour que l'intersection de l'aiguille orientée avec une circonférence de rayon 1 se trouve sur un certain arc est égale à la mesure de cet arc divisé par 2 π.

Une solution élégante de ce problème a été donnée par E. Barbier vers 1860. Appelons N la variable aléatoire égale au nombre de points de rencontre de l'aiguille et du réseau de droites parallèles ; N prend la valeur 0 avec la probabilité 1 − p et la valeur 1 avec la probabilité p que l'on cherche : E(N) = p. Considérons maintenant une ligne polygonale, fermée ou non, de n côtés, et appelons Ni la variable aléatoire définie comme précédemment relative à chaque côté. Les différentes variables Ni ne sont pas indépendantes, mais on sait que, même dans ce cas (cf. chap. 3), on a :

en passant à la limite, cela revient à dire que, quelle que soit la forme d'une courbe, l'espérance mathématique du nombre de points d'intersection de cette courbe avec le réseau de droites parallèles est proportionnelle à la longueur L de cette courbe, donc de la forme kL. Si on prend pour courbe un cercle de diamètre h, le nombre de points d'intersection avec le réseau est égal à 2 avec une probabilité égale à 1 ; l'espérance mathématique dans ce cas est donc 2 et, par suite, kπh = 2, donc k = 2/πh. Ainsi, la probabilité d'une intersection de l'aiguille et du réseau est égale, si l < h, à 2 l/πh. Si l = h/2, cette probabilité est donc égale à 1/π. D'après ce que l'on a vu dans le chapitre 8, la fréquence d'un tel résultat est une estimation de la probabilité. Sur ce cas très précis, des expériences sont continuellement faites au palais de la Découverte à Paris.

Probabilités en arithmétique

Deux nombres entiers positifs étant choisis « au hasard », quelle est la probabilité pour qu'ils soient premiers entre eux ? Ici encore, il faut préciser l'expression « au hasard » ; elle voudrait signifier « en donnant la même probabilité à chaque entier positif », mais il n'est pas possible de donner directement cette égalité de chances : si elle était nulle, la probabilité de l'ensemble des entiers serait nulle, et si elle était différente de 0, la probabilité de l'ensemble des entiers serait infinie. Il faut donc entendre « au hasard » de la façon suivante : on considère tous les entiers inférieurs à N ; en attribuant la même probabilité à chacun de ces entiers, on calculera la probabilité pour que deux entiers indépendants soient premiers entre eux et on calculera la limite de cette probabilité lorsque N augmente indéfiniment. Étant entendue de cette manière, la probabilité pour qu'un nombre soit multiple de n est égale à 1/[...]

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Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par Jean-François QUINT
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par Georges BLUMBERG
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par Jean-Pierre AUDINOT, Universalis, Jacques GARNIER
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
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