1. Construction logique et ensembliste
Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut être reconstruit, de même Bourbaki décrit les structures les plus complexes, et particulières, à partir de certaines structures, plus simples et plus générales. Il distingue les structures algébriques, qui interviennent dans toute l'algèbre, les structures topologiques, qui interviennent dans toute l'analyse, puis des structures combinées. Le corps des nombres réels est, à ce titre, une structure très compliquée : combinaison de deux structures algébriques (la loi d'addition et celle de multiplication) et d'une notion de limite. Il apparaît donc assez tard dans l'exposition bourbakiste, dont les titres de livres parus sont, dans l'ordre de publication : l'algèbre, la topologie générale, les espaces vectoriels topologiques, la théorie de l'intégration, les groupes et algèbres de Lie, l'algèbre commutative, les théories spectrales, les variétés, la théorie des ensembles, les fonctions d'une ou plusieurs variables réelles. Chacun des livres s'appuie sur les notions précédemment introduites, en les combinant entre elles.
Les traités classiques d'analyse de la fin du xixe siècle, à la suite de Meray et Weierstrass, nous ont habitués à un autre mode d'exposition. Le point de départ en est la notion de nombre entier, d'où on déduit les fractions, puis les nombres réels, puis les fonctions numériques... Le dessein de ces mathématiciens était très proche de celui de Bourbaki : il s'agissait de donner des bases solides et commodes aux mathématiques de leur époque. L'immense majorité des mathématiciens contemporains et des utilisateurs des mathématiques ont été initiés en suivant ce […]
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