BIFURCATION, mathématiques

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  CHAOS DÉTERMINISTE THÉORIE DU

Écrit par : Bernard PIRE

…  Lev Landau, un écoulement turbulent n'est pas décrit par la superposition de nombreux modes. *Au contraire, en appelant bifurcation le point où une faible variation d'un paramètre induit un changement qualitatif de la solution d'une équation, Ruelle et Takens montrent qu'un tout petit nombre de bifurcations suffit à produire un comportement… Lire la suite

2.  FORME

Écrit par : Jean PETITOT

Dans le chapitre "Les modèles morphodynamiques"  : … un système de gradient. Mais elle ne permet de rien dire sur la structure interne de l'attracteur. *L'idée est alors de ne retenir des bifurcations d'attracteurs que les bifurcations associées de leurs fonctions de Liapounov. Cette réduction ressemble à un moyennage thermodynamique. Elle correspond à un changement de niveau d'observation faisant… Lire la suite

3.  POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par : Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "Mécanique céleste et systèmes dynamiques"  : … la condition de stabilité est obtenue ; quand l'un d'eux s'annule, la figure est de *bifurcation. Si une figure appartient à deux séries différentes, on a une figure d'équilibre de bifurcation : ces deux séries échangent leur stabilité (par exemple, l'une des séries correspond à des équilibres stables jusqu'à la bifurcation… Lire la suite

4.  SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Écrit par : Alain CHENCINER

Dans le chapitre "Classification des germes de petite codimension μ"  : … à C de la projection π : U × S → S n'est pas de rang maximal. Notons Bif(F), ensemble de *bifurcation de F, l'image π(K) ⊂ S ; c'est l'ensemble des points λ tels que fλ ait au moins un point critique dégénéré. L'image F(C), graphique de F, est une sous-variété algébrique de R × S ; la projection sur S de ses… Lire la suite

5.  SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Écrit par : Alain CHENCINER

Dans le chapitre "Perturbations périodiques d'auto-oscillations et « courbes de Birkhoff »"  : … cas général » où T ne résonne « pas trop » avec 2π/ω ; c'est une nouvelle occasion de rencontrer la *bifurcation de Hopf, cette fois pour des difféomorphismes (apparition de courbes fermées invariantes attractantes par déstabilisation d'un point fixe dans une famille de difféomorphismes ou, ce qui revient au même, apparition de tores invariants… Lire la suite

6.  TURBULENCE

Écrit par : Fabien ANSELMET, Michel COANTIC, Gérard TAVERA

Dans le chapitre "Le chaos déterministe et la turbulence"  : … *D. Ruelle et F. Takens ont déterminé en 1971 les conditions minimales permettant l'apparition de la S.C.I. et d'un attracteur étrange dans un système dynamique non linéaire : il suffit que la dimension p soit supérieure ou égale à 3 (c'est le cas pour le système de Lorenz) et que le système subisse au moins trois bifurcations. Le… Lire la suite