2. La logique de Russell
• La logicisation de l'arithmétique
Le projet de Russell commence par un effort de logicisation de l'arithmétique, qui sera suivi par l'élaboration du calcul des propositions, du calcul des classes et du calcul des relations.
La définition du nombre est obtenue au moyen du concept de classes semblables. Une classe est constituée par le ou les membres qui lui appartiennent (x ∈ α). C'est par la relation d'appariement entre membres de classes que s'opère la définition du nombre, en sorte que dire d'une chose qu'elle a « même nombre » qu'une autre équivaut à dire qu'elles ont une relation de « similarité ». Cela n'est circulaire qu'en apparence ; car c'est, en dernière analyse, la relation terme à terme (biunivoque et réciproque) qui fonde la ressemblance de classes. Ainsi, le nombre 3 est une classe de classes de trios, puisque tous les termes de celles-ci peuvent être appariés terme à terme. Sans être naturelle, puisqu'on va jusqu'à dire que les nombres entiers positifs forment une suite naturelle, cette théorie a l'avantage d'être logiquement la plus parcimonieuse : entia non multiplicanda. Elle n'exige que la réflexivité, la symétrie et la transitivité de la relation entre membres constitutifs des classes appariées. Le nombre cardinal ainsi récupéré du point de vue logique, restent l'ordinal et le zéro.
L'axiome d'infinité exige qu'il y ait toujours des nombres au-delà de tout nombre n fini assignable. Il y a un nombre infini d'objets. Cela peut se démontrer logiquement. L'ordinal étant intégré par la même procédure (cantor-dedekindienne) que le cardinal, Russell, disposé à admettre des classes vides, peut de même réduire le zéro à la classe des classes vides, c'est-à-dire la classe de celles qui ne comprennent aucun membre.
En dépit des controverses suscitées par la théorie russellienne, celle-ci a eu en son temps le mérite de tenter une logicisation complète de l'arithmétique.
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