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RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

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7. Fonction ζ et répartition des nombres premiers

La partie, célèbre entre toutes, de l'œuvre de Riemann concernant la fonction ζ tient en une dizaine de pages, adressées en 1859 à l'Académie de Berlin, qui venait de l'élire membre correspondant.

La fonction ζ (cf. fonctionzêta) est définie d'abord, pour Re s > 1, comme somme de la série de Riemann :

Euler avait montré que 1/ζ(s) est produit des facteurs 1 − p−s, p premier ≥ 2, d'où ζ(s) ≠ 0 pour Re s > 1 ; il avait d'autre part défini la fonction Γ par :

pour Re s > 0, et obtenu la formule des compléments :

d'où découle un prolongement méromorphe de Γ à tout le plan, avec comme pôles (simples) les entiers ≤ 0.

Notons ln la détermination principale du logarithme complexe (holomorphe sur le complémentaire du demi-axe réel négatif, et de partie imaginaire comprise entre ± π), et L le chemin suivant décrit par le point z = x + iy = reⁱθ : d'abord x décroît de + ∞ à 0, y restant égal à 1 ; puis θ croît de π/2 à 3 π/2, r restant égal à 1 ; enfin x croît de 0 à + ∞, y restant égal à − 1. Avec ces notations, Riemann obtient la formule :

où l'intégrale est une fonction entière de s, d'où un prolongement méromorphe de ζ à tout le plan, avec le seul pôle (simple) s = 1 ; puis il montre que :

est une fonction e […]

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Thématique

Classification thématique de cet article :

1. Mathématiques »
2. Histoire des mathématiques »
3. Mathématiciens »
4. Mathématiciens, XIXe s.

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