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RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

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6. Variétés riemanniennes

Riemann fut déçu quand Gauss choisit, pour la soutenance, la partie non encore rédigée de son mémoire d'habilitation ; c'est à cette déception que nous devons une dissertation philosophique Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie. Dans la première section, intitulée « Notion de grandeur à n dimensions », apparaît l'expression « variété continue » ; mais aucune explication n'est donnée sur le contenu de cette notion.

La deuxième section traite des « Rapports métriques dont est susceptible une variété à n dimensions », chacun d'eux étant déterminé par un élément linéaire ds, racine carrée d'une forme quadratique définie positive en dx₁, ..., dx_n, à coefficients fonctions continues de x : il s'agit donc maintenant de variétés différentiables.

Sur une variété plane, ds²est la somme des carrés de n différentielles exactes. Dans la troisième section, prenant n = 2, Riemann remarque que l'existence d'un groupe de déplacements n'est pas liée à une courbure totale nulle, cas d'une variété plane, mais plus généralement à une courbure totale constante : c'est pour cette remarque fondamentale que son nom est resté attaché à la géométrie sur la sphère, où la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits.

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Thématique

Classification thématique de cet article :

1. Mathématiques »
2. Histoire des mathématiques »
3. Mathématiciens »
4. Mathématiciens, XIXe s.

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SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES: Écrit par : Jean-Pierre KAHANE
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