5. Intégrale de Riemann
En décembre 1853, Riemann présenta un mémoire d'habilitation en trois parties, parmi lesquelles la faculté de Göttingen, c'est-à-dire Gauss, devait choisir pour la soutenance : l'une d'elles était « la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique ». C'est là que, après avoir rappelé (chap. ier) les premiers travaux de d'Alembert, Euler, Lagrange, et (chap. ii) les formules intégrales donnant les coefficients de Fourier d'une fonction de période 2 π, Riemann se demande (chap. iv) dans quels cas et comment ces intégrales sont définies.
Avec sa clairvoyance habituelle, il distingue d'emblée, d'une part, l'intégrale (aujourd'hui dite propre) d'une fonction f bornée sur un intervalle compact [a, b], définie comme limite si elle existe, quand :
Le chapitre v donne le critère, aujourd'hui classique, d'intégrabilité au sens propre : Que la somme des oscillations de f sur les intervalles partiels, multipliées par les longueurs respectives de ces intervalles, soit arbitrairement petite pour un choix convenable des xi. Le chapitre vi établit l'intégrabilité des fonctions monotones et donne un exemple de fonction intégrable ayant une infinité de discontinuités :
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