4. Représentation conforme
C'est encore dans la thèse de Riemann (chap. xxi) qu'on trouve son célèbre théorème : Deux surfaces de Riemann simplement connexes données peuvent toujours être représentées conformément l'une sur l'autre ; les images dans la seconde d'un point de la première et d'un point de sa frontière peuvent être choisies arbitrairement, et la représentation est alors déterminée de façon unique.
Riemann ne consacre à la démonstration que trois pages, en s'appuyant sur le principe de Dirichlet discuté (cf. supra, Fonctions harmoniques et principe de Dirichlet) : c'est dire la nécessité d'une mise au point ; il apparut vite que l'énoncé était incorrect en ce qui concerne les frontières si elles sont quelconques, non pas d'ailleurs à cause des points irréguliers, puisqu'un ouvert simplement connexe n'en a pas. Les problèmes ainsi posés furent résolus par Poincaré, Caratheodory et Lindelöf principalement.
Les surfaces de Riemann multiplement connexes posaient d'autres problèmes, dont plusieurs furent résolus par Köbe : d'après son théorème fondamental (« Journal de Crelle », 1910), si une surface de Riemann cesse d'être connexe dès qu'on en retire une courbe fermée, elle admet une représentation conforme sur un ouvert du plan ; dans la démonstration, on retrouve le principe de Dirichlet.
Un ami de Riemann publia en 1867 un mémoire, Sur les surfaces d'aire minima pour un contour donné (en abrégé « surfaces minima »), où le mathématicien aborde ce problème géométrique par une méthode nouvelle, devenue classique, utilisant des fonctions holomorphes d'une variable complexe.
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