3. Fonctions harmoniques et principe de Dirichlet
La thèse de Riemann innovait aussi par le rôle capital joué par les fonctions harmoniques à partir du chapitre vii, où se trouve la célèbre formule de Riemann : Si la fonction u à valeurs dans R2 est continûment différentiable sur un compact A, de bord régulier B, on a :
En quelques pages (chap. x et xi) sont réunis un théorème de prolongement, le principe du maximum et le principe du prolongement analytique, comme on dit aujourd'hui. L'objectif est la détermination (chap. xix) d'une fonction holomorphe sur un ouvert D simplement connexe, continue sur D−, par les valeurs de sa partie réelle sur la frontière de D et de sa partie imaginaire en un point de D.
Pour atteindre ce but, Riemann énonce (chap. xvi et xviii) le principe de Dirichlet : Parmi les fonctions continues sur D−, ou discontinues en des points isolés, qui prennent des valeurs données sur la frontière de D et dont le gradient est de carré intégrable sur D, il y en a une et une seule rendant minimale l'intégrale du carré du gradient, et cette fonction est harmonique sur D, donc résout le problème de Dirichlet au sens strict.
La démonstration complète se révéla impossible, car cet énoncé est faux. Si D est un disque, pour toute donnée f continue sur la circonférence, le problème de Dirichlet au sens strict a bien une solution unique, mais fournie par la formule intégrale de Poisson et non par la méthode proposée par Riemann, car il peut arriver qu'aucun prolongement de f à D− n'ait un gradient de carré intégrable : Hadamard (Bulletin de la Société mathématique de France, 1906) en donna l'exemple :
Si D est quelconque, le problème de Dirichlet au sens strict n'a pas en général de solution, à cause des points irréguliers de la frontière de D.
Le principe de Dirichlet fut à l'origine des travaux de Hilbert, qui lui donna sa forme correcte ; quant à l'intégrale du carré du gradient, appelée maintenant intégrale de Dirichlet, elle intervient fréquemment en théorie du potentiel et dans l'étude des équations aux dérivées partielles.
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