AXIOME

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  ARISTOTE (~385 env.-~322)

Écrit par : Pierre AUBENQUE

Dans le chapitre "Limites de l'idéal déductif"  : … tard à la systématisation d'Euclide. Chaque science repose sur des prémisses premières, nommées *axiomes, qui ne peuvent être démontrées sans cercle vicieux à l'intérieur de la science considérée, puisqu'elles sont présupposées par toutes ses démonstrations (par exemple, en arithmétique : le tout est plus grand que la partie).… Lire la suite

2.  AXIOMATIQUE

Écrit par : Georges GLAESER

…  que l'on admet sans démonstration et qui ne sont pas des définitions ; ces propositions, appelées *axiomes, ou parfois postulats, constitueront le point de départ de la théorie que l'on se propose d'édifier. Parmi les axiomes d'une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la logique) qui sont… Lire la suite

3.  CONSTRUCTION, mathématique

Écrit par : André WARUSFEL

…  des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. *Depuis la fin du xix^e siècle et surtout le début du xx^e, on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire… Lire la suite

4.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

Dans le chapitre "Axiomes de ZF et procédés de formation d'ensembles"  : … plus loin ne constitue qu'un procédé permettant de reconnaître si tel assemblage est ou non un *axiome de ZF. Bien qu'étant assez proche – en définitive – du procédé adopté comme fondement dans les éléments de mathématiques de Bourbaki, le formalisme n'a essentiellement plus cours chez les spécialistes de théorie des ensembles ; il se prête au… Lire la suite

5.  FORMALISME

Écrit par : Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY

Dans le chapitre "La démonstration formalisée"  : … du système. Le plus souvent, on peut décider effectivement si une formule donnée est un *axiome, et on parle alors de théorie axiomatique. Intuitivement, les axiomes représentent des propositions qui sont considérées comme vraies sans démonstration, mais cette référence est en toute rigueur inutile.

4. On définit une liste finie… Lire la suite

6.  GÉOMÉTRIE

Écrit par : François RUSSO

Dans le chapitre "La géométrie classique"  : … de toute intuition sensible, et Hilbert démontre – préoccupation étrangère à Euclide – que les *axiomes retenus sont indépendants et qu'ils ne conduisent pas à des contradictions. Ensuite, des mathématiciens, tel Gustave Choquet dans L'Enseignement de la géométrie (1964), ont exposé la géométrie euclidienne sous une forme élémentaire… Lire la suite

7.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Problème 2 : consistance de l'arithmétique"  : … exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science ». Les *axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient réputées valides sont celles qui se déduisent des axiomes en un nombre fini d'étapes. La question… Lire la suite

8.  LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par : Daniel ANDLER, Roger MARTIN

Dans le chapitre "Syntaxe"  : … formation des preuves, qui sont des suites finies de formules, sont les suivantes : I. On appelle *axiome toute formule ayant l'une des formes : où A, B, C sont des formules quelconques ; toute suite ayant pour unique élément un axiome est une preuve. II. Si D est une preuve, A un axiome, la suite obtenue en faisant suivre les termes de D… Lire la suite

9.  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'évidence cartésienne"  : … de constitution des objets d'entendement. De là cette conséquence que les propositions prises comme *axiomes (les « hypothèses » qui servent de base à la construction déductive) le sont en vertu d'un caractère intrinsèque. Leur caractère « indémontrable » ne renvoie nullement à un manque. Tout au contraire : il est la marque de l'adéquation, saisie… Lire la suite

10.  OBJET MATHÉMATIQUE

Écrit par : Patrick DEHORNOY

…  entiers qu'il est difficile, sauf à tourner en rond, de définir à partir d'objets antérieurs. *La question est en général contournée en recourant à une démarche axiomatique : à défaut de définir les objets, on en énumère les propriétés de base, ou axiomes, et on se contente dès lors de déduire des conséquences logiques de ces dernières. Un… Lire la suite

11.  RELATION

Écrit par : Jean LADRIÈRE

Dans le chapitre "Les relations selon Bertrand Russell"  : … ]). Mais le choix du point de vue intensionnel impose une contre-partie : il faudra introduire un *axiome spécial stipulant que tout couple d'individus est caractérisé par une relation (en ce sens qu'à tout couple correspond une relation qui se vérifie de ce couple et ne se vérifie d'aucun autre). Dans une version extensionnelle de la… Lire la suite

12.  RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

Écrit par : Philippe DEVAUX

Dans le chapitre "Implication formelle"  : …  ⊃ q) est parfois dite contextuelle. À cela il y a deux raisons. D'une part, *l'axiomatique du système déductif dont procède toute la logique s'exprime exclusivement à l'aide de la somme logique entre propositions élémentaires ; les propositions primitives (Pp) du système sont au nombre de cinq et se dénomment… Lire la suite

13.  STRUCTURALISME, mathématique

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

Dans le chapitre "Structuralisme méthodologique de Bourbaki"  : … mathématiques ne sont ni la science des nombres, ni celles des figures, ni celle des ensembles, mais* celle des structures, provient de la pratique de l'axiomatisation (progressivement acceptée par tous les mathématiciens), et plus spécifiquement de l'école algébrique de Van den Waerden, mais c'est chez Bourbaki seulement qu'elle prend une forme… Lire la suite