CHOIX AXIOME DU

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

Écrit par : Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a… Lire la suite

2.  CONTINU HYPOTHÈSE DU

Écrit par : Patrick DEHORNOY

Dans le chapitre "Une affaire terminée ?"  : … des vingt-trois problèmes de Hilbert en 1900, celui du continu a suscité de multiples recherches. *Une fois réuni un consensus sur le système d'axiomes de théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel ZF, ou ZFC lorsque l'axiome du choix est inclus, comme base axiomatique, la première question est de savoir si HC, ou sa négation ¬HC, est prouvable à… Lire la suite

3.  DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

Écrit par : Jean-Paul DELAHAYE

Dans le chapitre "L'étrange géométrie du mathématicien ensembliste"  : … aucune figure ne donnera une idée des pièces de Laczkovich qui réalisent la quadrature du cercle. *Cela est dû à ce que la preuve de leur existence utilise l'axiome du choix et que les pièces des découpages sont d'une telle complexité (ce sont des nuages discontinus de points) qu'on ne peut pas les représenter. De plus, le « découpage » du disque… Lire la suite

4.  ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par : Jacques STERN

Dans le chapitre "Les cardinaux et l'axiome du choix"  : … de la théorie des cardinaux. Ce sujet étant assez technique, nous préférons introduire maintenant *l'axiome du choix.

(9) Pour tout ensemble x il existe une application de l'ensemble des parties non vides de x dans x qui à tout élément z de P(x) − {∅} associe un élément h(z) de z. … Lire la suite

5.  GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par : Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : … contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de *l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un des principaux outils de la théorie des ensembles. À ces trois résultats… Lire la suite

6.  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "Les axiomes de Zermelo"  : … de E ; E est dans ce cas un ensemble dont les éléments sont des ensembles. VI. Axiome du *choix (Auswahl) : Si E est un ensemble dont les éléments sont des ensembles non vides et disjoints, alors ∪(E) contient au moins un ensemble M qui possède un et un seul élément commun avec tout élément de E. VII. Axiome d'infinité… Lire la suite

7.  OBJET MATHÉMATIQUE

Écrit par : Patrick DEHORNOY

…  unique comme combinaison linéaire à coefficients rationnels des nombres ri. *Le problème est qu'il est ici impossible de décrire explicitement une telle famille : on sait seulement que son existence n'est pas contradictoire, mais il est sans espoir d'en dire plus car le résultat utilise de façon essentielle l'axiome du choix… Lire la suite

8.  ZERMELO ERNST (1871-1953)

Écrit par : Gabriel SABBAGH

… *Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et permettant de légitimer le raisonnement par induction transfinie. En… Lire la suite