3. 3 Théorie des systèmes
• Systèmes et modules
Tous les systèmes considérés dans ce qui suit sont linéaires et à coefficients constants. L'opérateur qui est à la base de la théorie des systèmes à temps continu est la dérivation ∂ (voir ci-dessus), tandis que pour les systèmes à temps discret il s'agit de « l'opérateur d'avance » q : ξ(t) → ξ(t + 1). Posons∇ = (∂ ou q) et R = ℝ[∇]. Un système (qu'il soit à temps continu ou à temps discret) est décrit par une équation de la forme
E(∇)w = 0, (5)
où E(∇) ∈ Rr×k, ce qui généralise la formulation précédente. Il n'y a pas une manière unique de décrire un même système ; il n'y a pas même unicité du nombre de variables et du nombre d'équations dans les différentes descriptions possibles. Par exemple, (6) et (7) ci-dessous
(∇2 + a1∇ + a2)y = (b1∇ + b2)u (6)
où x = t[x1 x2] est la matrice transposée de [x1 x2], sont deux représentations du même système. Elles ont en commun de définir des R-modules identiques à un isomorphisme près (cf. algèbre linéaire et multilinéaire) : le premier, M1, est engendré par les variables y et u vérifiant (6) ; le second, M2, est engendré par les variables x1, x2 et u vérifiant la première égalité de (7) [d'après la seconde, y appartient à M2]. Un système linéaire s'identifie dès lors (ou est « naturellement associé ») à un R-module M de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments). Considérons par […]
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