2. Modélisation
• Modèles non linéaires
La modélisation est un problème épineux, car pour savoir modéliser des systèmes électriques, mécaniques, thermiques, hydrauliques et autres, il faudrait être tout à la fois électricien, mécanicien, thermicien, hydraulicien, etc. Aussi une bonne modélisation est-elle souvent le fruit d'une collaboration entre l'automaticien et un ou plusieurs spécialistes des disciplines que nous avons citées ; encore le premier doit-il avoir une culture scientifique suffisamment large pour pouvoir entretenir avec les seconds un dialogue fécond. Considérons un cas simple, celui du pendule inversé de la figure 1 (dont le comportement n'est pas sans rapport avec celui d'une fusée au moment du décollage).
Ce pendule est constitué d'un chariot de masse M sur lequel s'articule une tige de longueur l terminée par une masse m. Les frottements et la masse de la tige sont supposés négligeables et la masse m est supposée ponctuelle. On agit sur ce pendule inversé au moyen d'une force f s'appliquant au chariot qui se meut horizontalement. Il s'agit d'un système holonôme (cf. mécanique analytique) dont les coordonnées généralisées q1 et q2 sont respectivement y (l'abscisse du chariot) et θ (l'angle que fait la tige avec la verticale). L'énergie cinétique du chariot est T1 = (M/2)ẏ2 (où ẏ = dy/dt est la dérivée de y par rapport au temps t), tandis que celle de l'ensemble (tige+masse) est T2 = (m/2)(ẏ12 + ż12), où y1 et z1 désignent respectivement l'abscisse et l'ordonnée de la masse m, à savoir y1 = y + l sin θ et z1 = l cos θ.
L'énergie cinétique du pendule est T = T1 + T2 ; son énergie potentielle est cell […]
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