CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

Une production considérable

La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses travaux fondamentaux, il resterait à son actif assez de résultats frappants et originaux pour le rendre célèbre. Bien qu'essentiellement analyste, il s'est intéressé à toutes les parties des mathématiques, pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait compris très tôt l'importance de la transformation de Fourier (que ce dernier et Poisson n'avaient employée que dans des cas particuliers) pour la résolution de toutes sortes d'équations fonctionnelles linéaires. Il partage d'ailleurs avec Poisson la découverte de la formule sommatoire qu'on attribue d'ordinaire à ce dernier seul ; et, comme Poisson, il en avait déduit la formule de réciprocité de la fonction thêta (que Gauss avait lui aussi découverte quinze ans auparavant, mais non publiée). En géométrie, il inaugure la « géométrie intégrale », avec la formule donnant la longueur d'une courbe plane convexe comme moyenne de ses projections orthogonales sur toutes les droites du plan. C'est aussi par un mémoire de géométrie qu'il s'était fait connaître en 1813, en prouvant, par une habile utilisation de la formule d'Euler sur les polyèdres, qu'un polyèdre convexe est indéformable (autrement dit, ses faces déterminent entièrement ses angles dièdres). En théorie des nombres, le plus intéressant des travaux de Cauchy (qui date aussi de ses débuts) est la démonstration du théorème énoncé par Fermat sur les nombres polygonaux (généralisation du théorème des quatre carrés de Lagrange). Enfin, en algèbre, on doit à Cauchy la première démonstration de la réalité des valeurs propres d'une matrice symétrique d'ordre supérieur à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des groupes (par exemple, l'existence dans un groupe d'un élément d'ordre premier p, pour tout diviseur premier p de l'ordre du groupe, et le fait que, dans le groupe symétrique S_n, il n'y a pas d'autre sous-groupe que le groupe alterné A_n qui soit d'indice < p, où p est le plus grand diviseur premier de n !). Dans une de ses expositions de la théorie des nombres complexes, Cauchy mit en évidence la possibilité de définir le corps C comme quotient R [X]/(X² + 1) d'un anneau de polynômes, premier pas vers la théorie moderne des extensions algébriques des corps. Enfin, vers la fin de sa vie, Cauchy avait retrouvé de façon indépendante, sous le nom de « clés algébriques », les principes de l'algèbre extérieure de Grassmann.