4. Équations différentielles
Mais, dans ce rôle de législateur de l'analyse, la plus profonde contribution de Cauchy se situe sans conteste dans le domaine des équations différentielles, où il est le premier à donner des démonstrations générales d'existence et d'unicité des solutions (ses prédécesseurs ne se posaient même pas ces questions). En fait, les trois méthodes principales dont on lui attribue d'ordinaire la paternité – la méthode de Cauchy-Lipschitz, la méthode des approximations successives et le calcul des majorantes – avaient toutes été utilisées sporadiquement avant lui, en vue de calcul approché ou de majorations des solutions. Le très grand mérite de Cauchy a été d'avoir aperçu que l'on pouvait, par des calculs de majoration, prouver la convergence de ces procédés d'approximation et obtenir à la limite la solution cherchée.
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