3. Le retour à la rigueur
Mais plus peut-être que par ces remarquables découvertes, Cauchy a agi sur les mathématiques de son temps par son enseignement, largement répandu dans ses Cours à l'École polytechnique, ses Leçons publiées par lui-même ou par son disciple Moigno, et ses Exercices de mathématiques. Bien qu'il ait été précédé dans cette voie par Gauss, c'est tout de même à Cauchy qu'il faut attribuer la plus grande part du travail d'assainissement de la mathématique « formelle » du xviiie siècle, et le retour à la rigueur qui était devenu indispensable pour aller de l'avant. À vrai dire, on ne trouve guère, dans les écrits de Cauchy, les raisonnements « par ε et δ » qui nous sont devenus familiers, et son langage nous paraît souvent aussi vague que celui de ses contemporains Poisson ou Fourier, restés fondamentalement hommes du xviiie siècle. Cette imprécision le conduit même parfois à des erreurs, comme dans les questions de convergence uniforme (où les premières conceptions correctes sont dues à Abel) ou de continuité uniforme qui lui échappent comme d'ailleurs à tous ses contemporains. Il n'en reste pas moins que, sur les principes mêmes du calcul infinitésimal, ses conceptions sont essentiellement correctes et apportent la clarté qui faisait si cruellement défaut jusqu'alors : entre beaucoup d'autres, sa définition d'une fonction continue, celle de l'intégrale d'une fonction continue (par les « sommes de Riemann ») sont restées définitives ; on lui doit aussi la première démonstration correcte de la formule de Taylor et on sait qu'il est le premier à formuler des critères maniables permettant de prouver la convergence d'une série.
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