5. La géométrie
Cayley a consacré un grand nombre de ses publications aux problèmes de la géométrie et à l'étude des courbes et des surfaces algébriques. À vingt-deux ans, il émettait l'idée de la géométrie à n dimensions, idée qui fut formulée aussi, presque simultanément mais sous une forme un peu différente, par Grassman. Cayley ne revint que beaucoup plus tard (en 1870) sur l'espace à n dimensions, mais sa méthode algébrique contribua aux importantes découvertes qui eurent lieu dans les autres domaines de la géométrie. C'est ainsi que, dans le Sixth Memoir on Quantics de 1859, il introduit la métrique projective, subordonnant ainsi la géométrie métrique à la géométrie projective ; il démontre alors que les notions fondamentales de la géométrie métrique (angles et distances) sont les invariants et les covariants de certaines transformations linéaires de la « quadrique absolue ». Dans ce travail, Cayley a donc formulé les idées qui allaient conduire F. Klein à son célèbre programme d'Erlangen.
L'œuvre considérable de Cayley présente de nombreux autres résultats : il introduisit les coordonnées de droites, publia des résultats d'analyse et de mathématiques appliquées et développa considérablement les méthodes graphiques. Mais Cayley est surtout un algébriste et cette prédilection se manifeste même dans ses travaux de géométrie : sa pensée est sans cesse à la recherche d'une généralisation et l'analyse de quelques cas particuliers le conduit à espérer des extensions parfois erronées ; les formules algébriques qu'il a établies ont constitué d'importants instruments au service de l'abstraction.
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