2. Définition des groupes abstraits finis
La richesse de l'approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Jusque-là, seuls les groupes de substitution étaient utilisés. Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits ; en fait, sa définition ne convient que pour les groupes finis. Pour Cayley, un groupe est un ensemble de « symboles », dans lequel est définie une opération de multiplication et ce sont les produits de deux éléments qui constituent les éléments du groupe ; cette opération est supposée associative mais pas nécessairement commutative ; le groupe est supposé contenir un élément unité et, en multipliant le groupe entier par un élément quelconque (à droite ou à gauche), on doit retrouver ce même groupe. Toujours en 1854, Cayley montre, ce que ses prédécesseurs avaient seulement pressenti, que la structure ainsi définie peut avoir plusieurs représentations ; et cela le conduit à la notion d'isomorphisme.
Cayley a introduit des notions permettant une étude plus approfondie des groupes. C'est ainsi qu'il démontre que l'on peut exprimer la structure des groupes finis par plusieurs relations, dites de nos jours relations fondamentales. Dans le même but, il construit en 1854 des tables de multiplication. Ces deux outils ont rendu possible la détermination de différents groupes d'ordre donné ; les résultats de Cayley ont suscité de nombreux travaux sur le nombre de groupes différents d'ordre donné.
Bien que très vite les études sur les groupes abstraits se soient considérablement développées, la définition de Cayley devait rester sans écho et Cayley lui-même se contentera par la suite d'une détermination plus intuitive et moins précise de cette structure fondamentale.
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