ARITHMÉTIQUE FORMELLE

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  CHURCH ALONZO (1903-1995)

Écrit par : Françoise ARMENGAUD

… *Mathématicien et logicien, philosophe et historien de la logique, Alonzo Church est né le 14 juin 1903 à Washington et mort le 11 août 1995 à Hudson (Ohio). Professeur de mathématiques à l'université de Princeton, directeur du Journal of Symbolic Logic, il est selon Kneale « le plus fidèle des disciples de Frege ». Réputé « platonisant »,… Lire la suite

2.  DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

Écrit par : Jean-Yves GIRARD

Dans le chapitre "L'ordinal ε0 et la ω-logique"  : … reprises dans les années trente, Gentzen allait donner des démonstrations de cohérence pour l'*arithmétique de Peano AP. Pour obtenir de tels résultats, il était nécessaire, par le second théorème d'incomplétude, de se servir de méthodes extérieures à l'arithmétique. Gentzen utilisa comme méthode l'induction transfinie jusqu'à ε0… Lire la suite

3.  FREGE GOTTLOB (1848-1925)

Écrit par : Claude IMBERT

Dans le chapitre "La caractéristique"  : … *Pour formaliser le raisonnement arithmétique, Frege conçut une caractéristique apte à dépeindre les actes logiques aussi sûrement que l'arithmétique signale ses opérations. Cependant la logique de Frege n'imite pas l'arithmétique en utilisant les mêmes symboles d'opérations (+, ×), comme le firent Leibniz et Boole ; l'idéographie emprunte à la… Lire la suite

4.  GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par : Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : … de l'assertion de leur existence. Dès 1936, Gentzen donnait une démonstration de la consistance de *l'arithmétique ; d'autres allaient suivre. Mais chacune met (nécessairement) en jeu des mécanismes déductifs non formalisables dans le système dont la consistance est étudiée. Dans son article de 1958, où il livre notamment une nouvelle preuve de la… Lire la suite

5.  HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Problème 2 : consistance de l'arithmétique"  : … Fonder une science, selon Hilbert, *c'est déterminer « un système d'axiomes contenant une description exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science ». Les axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient… Lire la suite

6.  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par : Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'arithmétisation de l'analyse"  : … au même point de la configuration. Les recherches de Frege s'articulent sur le point de départ (l'*arithmétique) et concernent explicitement le fondement. Rien n'est encore accompli, aux yeux de Frege, si demeure incertain le concept de nombre entier qui, ainsi que l'avait établi Karl Weierstrass et proclamé Leopold Kronecker, constitue le point… Lire la suite

7.  RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

Écrit par : Philippe DEVAUX

Dans le chapitre "La logique de Russell"  : … *Le projet de Russell commence par un effort de logicisation de l'arithmétique, qui sera suivi par l'élaboration du calcul des propositions, du calcul des classes et du calcul des relations. La définition du nombre est obtenue au moyen du concept de classes semblables. Une classe est constituée par le ou les membres qui lui appartiennent (… Lire la suite

8.  WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en… Lire la suite