5. Le transcendant existe-t-il ?
Cependant, Archimède n'a pas abordé de front le problème du centre de gravité du demi-cercle. Si tout corps a un barycentre bien défini, une plaque demi-circulaire en a un. Nous savons – et Archimède aussi, mais il se garde bien de le dire – que ce point est sur l'axe de symétrie, à une distance de la base égale à (4/3 π) R. L'existence du barycentre implique donc celle du rapport π, celle d'une longueur rectiligne égale à une circonférence donnée, celle d'un carré équivalent à un cercle donné, bref la possibilité de la quadrature du cercle.
Affirmer brutalement l'existence du barycentre d'un demi-cercle, c'est compromettre toute l'œuvre archimédienne.
Dans la lettre à Ératosthène, Archimède remplace la recherche de ce centre par celle du volume d'un onglet hémicylindrique. « Si l'on inscrit un cylindre dans un prisme droit à base carrée, un plan passant par le centre de la base inférieure et un côté de la base supérieure du prisme sépare du cylindre un segment qui est le sixième du prisme entier. » Puis, « si, dans un cube, on inscrit deux cylindres, leur partie commune est les deux tiers du cube ».
« Ces théorèmes diffèrent de ceux trouvés précédemment, car nous avions comparé les volumes des conoïdes et des sphéroïdes et de leurs segments avec des cônes et des cylindres. Mais aucune de ces figures n'a été trouvée équivalente à un polyèdre, alors que chacune des nouvelles, bien que délimitée par des surfaces cylindriques, est équivalente à un polyèdre. »
Mais on peut aborder par bien des voies la quadrature du cercle. Dans le célèbre et court traité De la mesure du cercle, Archimède utilise le calcul et arrive à l'encadrement bien connu :
Cependant, une approche plus savante est constituée par le Traité des spirales.
« Lorsqu'une droite, dont une extrémité est fixe, tourne uniformément dans un plan et que, sur la droite en rotation, un point se meut uniformément, le point décrira une spirale dans le plan. »
Par une étude délicate, méticuleuse, mais admirable, Archimède montre que l'existence d'une tangente en tout point de la spirale équivaut à la quadrature du c […]
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