4. De l'intuition à la preuve
Puis, sur sa lancée, il « pèse » la sphère et montre que « toute sphère est quadruple du cône ayant la base égale au grand cercle de la sphère et la hauteur égale au rayon de la sphère ».
Il invente ses sphéroïdes – nos ellipsoïdes de révolution – et il les pèse, ainsi que leurs segments et les segments de sphère. Il invente ses conoïdes droits – nos paraboloïdes de révolution – et il les pèse, c'est-à-dire en donne le volume. Il invente encore ses conoïdes obtus – nos hyperboloïdes de révolution à deux nappes – et, encore une fois, il les pèse.
Mais, de plus, il détermine tous les centres de gravité de ces figures, du parallélogramme, du triangle, du trapèze, du segment de parabole, du cercle, du cylindre, du prisme, du cône, du segment de paraboloïde, de l'hémisphère, du segment de sphère, du segment de sphéroïde, du segment d'hyperboloïde.
Et « ayant ainsi examiné que toute sphère vaut quatre cônes ayant pour base son grand cercle et pour hauteur son rayon, il m'est venu l'idée que la surface de toute sphère vaut quatre grands cercles de la sphère. En effet, j'ai supposé que, de même que tout cercle est égal à un triangle ayant pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, ainsi toute sphère est égale à un cône ayant pour base la surface de la sphère et pour hauteur le rayon. »
Cette dernière intuition, quelque batteur d'or égyptien l'avait eue mille ans plus tôt, puisque la surface d'un hémisphère se trouve dans le papyrus de Moscou. Mais il reste à passer de l'intuition à la preuve mathématique. Archimède en est très conscient.
Ce sera l'objet de son traité sur la quadrature de la parabole. Il y reprend d'abord sa pesée, mais en donnant une largeur aux filets rectilignes, dont il affirmait que « leur ensemble constituait le segment de parabole ». Ce sont maintenant des trapèzes inscrits dans le segment, puis circonscrits. Mais il y a encore pesée, appel à la mécanique, à la théorie des barycentres, et l'on comprend que l'inventeur de cette […]
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