3. La mécanique au secours de la géométrie
Les lois du levier étaient connues des disciples d'Aristote, et la balance était depuis des temps immémoriaux un outil de précision. Mais Archimède déduit ces lois, très rigoureusement, d'un nombre réduit de postulats.
Si Archimède est inattaquable dans l'Équilibre des plans ou des centres de gravité des plans, c'est surtout grâce à son utilisation du barycentre ou centre de gravité. Pour lui, tout corps pesant a un barycentre bien défini, en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. Il admet même ce postulat dans les dernières propositions du premier livre des corps flottants, où il considère cependant que les verticales concourent au centre de la Terre.
Une grande partie de sa carrière sera occupée à la détermination du centre de gravité des corps homogènes géométriquement définissables. Nous arrivons d'ailleurs ici à un tournant décisif. Nous ne connaissons encore que le mécanicien, l'ingénieur. Mais voilà qu'étudiant « la section du cône droit » – c'est ainsi qu'il appelait la parabole – il voit dans l'équation ay = x(b − x) (nous utilisons bien entendu l'écriture actuelle) une pesée : le segment y, placé à la distance a, équilibre le segment b − x, à la distance x. La recherche de l'aire de la parabole équivaut donc à celle du barycentre du triangle, qu'il a déjà déterminée. C'est alors vraiment qu'il peut pousser son cri : « J'ai trouvé ! » Ce lien entre la statique et la géométrie va le conduire à une foule de découvertes. Tout d'abord, il pèse – par la pensée – tout segment de parabole « qui vaut les quatre tiers du triangle de même base et de même hauteur ».
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