6. Répartition modulo 1
Quoiqu'il ne s'agisse pas à proprement parler d'approximation diophantienne, on peut ranger dans cet article l'étude des suites de nombres réels, modulo 1. Il s'agit, pour une suite (un), de la répartition sur [0, 1[ de {un} = un − [un] où [un] est la partie entière de un.
Ce n'est qu'en 1884 que Kronecker établit que, si θ est irrationnel, ses multiples nθ sont, modulo 1, partout denses sur [0, 1[. Cela signifie que, quel que soit x ∈ [0, 1[ et quel que soit ε > 0, il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles |{nθ} − x| < ε. En effet, {n1θ} est différent de {n2θ} si n1 ≠ n2 ; il existe donc au moins un point d'accumulation des nombres (nθ), c'est-à-dire qu'on peut trouver n1 et n2 avec (n1 − n2) θ ∈ ]0, ε[, d'où les multiples m(n1 − n2)θ qui fournissent des points, modulo 1, à moins de ε de tout x de [0, 1[.
On remarquera que le problème de la répartition sur un cercle des points d'abscisse curviligne nθ conduit au même résultat si θ est incommensurable à π (ici on raisonne modulo 2 π). De même, par exemple, l'étude des premiers chiffres du nombre 2n, écrit en base 10, conduit à étudier la mantisse de n log 2, c'est-à-dire sa répartition modulo 1. Comme log 2 est irrationnel, puisque 10p/q ≠ 2, on en déduit qu'on peut toujours trouver une infinité de valeurs de n telles que 2n commence par k chiffres quelconques imposés.
La notion d'équirépartition fut mise au point par Weyl en 1916. La suite (un) est dite équirépartie modulo 1 si les {un} sont denses sur [0, 1] et si, de plus, pour tout [α, β] ⊂[0, 1] le nombre ϕN(α, β) d'indices n pour lesquels n ≤ N et {un} ∈ [α, β] vérifie :
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