5. Théorème de Minkowski et applications
Dans sa Géométrie des nombres, Minkowski établit en 1910 l'important théorème : Soit dans Rn un domaine S convexe, borné, symétrique par rapport à O et de volume supérieur à 2n (ou égal à 2n si ce domaine est fermé). Ce domaine contient au moins un point entier distinct de O (il contient donc aussi son symétrique par rapport à O).
La démonstration utilise l'homothétique S′ de S dans l'homothétie (0, 1/2). Pour un entier m assez grand, soit le réseau (Z/m)n des points de coordonnées xi = ui/m où ui ∈ Z. Soit N(m) le nombre d'hypercubes de côtés 1/m de ce réseau qui sont dans S′. On a N(m) × ms aussi voisin qu'on veut de 1/2n . V(S) pour m assez grand et cela permet d'affirmer l'existence de deux sommets où les ui′ et ui″ sont congrus modulo m, pour i = 1, 2, ..., n. Le vecteur joignant ces deux sommets est donc un point entier, car (ui′ − ui″)/m est entier, qui appartient à S′ + S′ = S.
L'application essentielle de ce théorème concerne la résolution des systèmes d'inéquations diophantiennes :
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