Accueil - Boutique - Contact - Assistance
Zone de recherche

Altas Auteurs Recherche thématique Dictionnaire
 

DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Page précédente Page suivante

4.  Approximations simultanées

Étant donné k irrationnels τ1, τ2, ..., τk, on peut soit chercher à les approcher par des fractions p1/r, p2/r, ..., pk/r de même dénominateur (pas obligatoirement toutes irréductibles), soit chercher à rendre

minimum pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
minimum, σ étant donné non entier.

Un algorithme de Jacobi généralise pour les irrationnels l'algorithme des fractions continuées. Il correspond, pour k = 2, à :

où an = [αn] et bn = [βn], avec a0 = [τ] et b0 = [σ].

Cela, géométriquement, ramène le premier problème d'approximation simultanée à l'exploration des points de Z3 autour de la demi-droite (OD) portant le vecteur de composantes (τ, σ, 1). On obtient une suite de points liés par la récurrence OPn = OPn-3 + bn OPn-2 + an […]

… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 7 pages… Offre essai 7 jours

Thématique

Classification thématique de cet article :

Retour en haut

Autres références

« DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS » est également traité dans :

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Écrit par :  Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID,  Universalis

Dans le chapitre "Le premier et le second degré"  : …  si a et b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/b en *fraction continuée et, si a/b = pn/qn est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u0 = q… Lire la suite
KHINTCHINE ALEXANDRE IAKOVLEVITCH (1894-1959)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien soviétique, né à Kondrovo et mort à Moscou, membre correspondant de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S., professeur à l'université de Moscou, prix Staline (1941). Ses premiers travaux concernent la théorie des fonctions d'une variable réelle, où il introduit la notion de dérivée asymptotique, généralise la notion d'intégrale de… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… intervient une technique nouvelle, celle des fractions continuées, premier exemple d'utilisation d'*approximations diophantiennes pour la résolution d'équations diophantiennes. Jusque-là, les procédés de résolution d'équations diophantiennes consistaient en des manipulations algébriques élémentaires plus ou moins subtiles, pour permettre une… Lire la suite

Retour en haut

Accueil - Contact - À propos
Consulter les articles d'Encyclopædia Universalis : 0-9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Consulter les articles d'Encyclopædia Britannica.
© 2012, Encyclopædia Universalis France S.A. Tous droits de propriété industrielle et intellectuelle réservés.

chargement du média