3. Approximations des irrationnels algébriques
On dit qu'un irrationnel τ est rationnellement approchable à l'ordre α s'il existe une constante dépendant de τ, soit K(τ), telle que :
On voit sans peine qu'un rationnel u/v est approchable à l'ordre 1 et pas au-delà. D'autre part, les propriétés des fractions continuées montrent que tout irrationnel est approchable à l'ordre 2 au moins et qu'un irrationnel quadratique est approchable à l'ordre 2 et pas au-delà (à cause de la périodicité du développement). Ce dernier résultat est un cas particulier du théorème de Liouville (1844) relatif aux irrationnels algébriques de degré n : si τ est de degré n, il n'est pas approchable à un ordre supérieur strictement à n. En effet, si f (τ) = 0, où f est le polynôme de degré n définissant τ, l'étude de :
Le théorème de Liouville a une grande importance historique, puisqu'il a permis de définir explicitement les premiers nombres transcendants (nombres de Liouville), grâce à des développements (décimaux ou en fraction continuée) lacunaires tels que :
Le résultat de Liouville a été successivement amélioré par Thue (1908), établissant α ≤ (n/2) + 1, par Siegel (1921) α ≤ 2 […]
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