2. Approximations d'un irrationnel. Fractions continuées
Dans le plan affine d'axes Ox, Oy, de vecteurs de base OA, OB, soit la demi-droite (OD) d'équation x = τy, avec y ≥ 0 et τ ∈ R. Approcher τ par des rationnels p/q (avec q > 0) revient à approcher (OD) par des points du réseau de base OA, OB. Un point P(p, q) de ce réseau est un point de voisinage à droite pour (OD) si p/q > τ et 0 < p′/q′ − τ < p/q − τ entraîne q′ > q. Même définition à gauche avec τ > p/q et 0 < τ − p′/q′ < τ − p/q. Un point P(p, q) est un point réduit, relativement à (OD) si |p′ − τ q′| < |p − τ q| entraîne q′ > q.
Si τ est rationnel, soit τ = u/v, la demi-droite (OD) porte le point entier P(u, v) et il n'y a plus, au-delà de P, ni de point de voisinage, ni de point réduit pour (OD). Les points antérieurs à P sont donnés par le théorème suivant, qui s'applique sans limitation lorsque τ est irrationnel : Si Pn,k et Pn,k+1 sont deux points de voisinage consécutifs (pour q croissant), d'un même côté de (OD), alors :
a) La demi-droite portant le vecteur Pn,k Pn,k+1 rencontre (OD) en un point Dn+2 (non entier).
b) […]
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