Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des exemples. Pour une étude plus détaillée des anneaux qui interviennent en théorie des nombres ou en géométrie algébrique, nous renvoyons à l'intérieur de ce texte à d'autres articles de l'Encylopædia Universalis.
1. Définitions
• Anneaux
Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes( x, y )→ x + y et( x, y )→ xy, appelées addition et multiplication respectivement, qui possèdent les propriétés suivantes :
Les propriétés (a) à (d) expriment que A est un groupe commutatif pour l'addition.
Dans de nombreux exemples, la multiplication est de plus commutative, c'est-à-dire xy = yx ; un tel anneau est alors dit commutatif. Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété ; comme on le verra au début du chapitre, le calcul algébriqu […]
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