4. Anneaux noethériens
Avant Hilbert, les mathématiciens connaissaient fort peu de résultats sur les anneaux de polynômes à plusieurs variables. À propos de recherches sur la théorie des invariants, Hilbert mit en évidence le fait que tout idéal d'un tel anneau est engendré par un nombre fini d'éléments et montra tout le parti que l'on pouvait tirer de cette propriété ; par là même, il dégageait l'importance des anneaux avec conditions de finitude qui allaient être étudiés systématiquement sous forme générale par E. Noether. Signalons que les conditions de finitude en un sens plus large jouent un rôle absolument essentiel dans toutes les recherches « géométriques » contemporaines en géométrie algébrique ou analytique (au sens moderne, à savoir l'étude des espaces analytiques) et dans de nombreuses questions d'algèbre homologique.
• Définitions équivalentes
Un anneau noethérien est un anneau commutatif unitaire A qui vérifie une des trois conditions de finitude équivalentes suivantes :
Condition (a), dite de chaîne ascendante : « Toute suite strictement croissante d'idéaux est finie », ou encore : « Si :
Condition (b) : « Toute famille non vide d'idéaux a un élément maximal », ce qui signifie que si (ai)i ∈ I, I non vide fini ou non, est une famille d'idéaux de A, il existe un indice i0 pour lequel l'idéal ai0 n'est contenu strictement dans aucun autre idéal de la famille.
Condition (c) : « Tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments », c'est-à-dire que si a est un idéal de A, il existe des éléments x1, ..., xn, en nombre fini, tels que a soit l'ensemble des élémen […]
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