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ANNEAUX COMMUTATIFS

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3.  Les anneaux de Dedekind et la théorie multiplicative des idéaux

L'extension de l'arithmétique classique aux anneaux d'entiers algébriques s'est longtemps heurtée au fait que ces anneaux ne sont pas factoriels. Par exemple, dans l'anneau Z[√− 3] des nombres complexes de la forme a + ib √3, a, b entiers relatifs, le nombre 4 admet les deux décompositions :

en facteurs premiers non associés deux à deux et par suite cet anneau n'est pas factoriel. Dedekind, à partir des travaux de Kummer, mit en évidence que, pour un tel anneau A, la notion importante était celle d'idéal premier et non pas d'élément premier, comme pouvait le faire croire l'étude élémentaire des entiers relatifs. En somme, tout revient ici à remplacer l'étude du monoïde A* des éléments non nuls de A par celle du monoïde M(A) des idéaux non nuls de A ; on trouve l'unicité de la décomposition en facteurs premiers « idéaux ». Chaque élément a non inversible de A* étant identifié à l'idéal principal (a) qu'il engendre peut ainsi s'écrire, de manière unique, comme un produit d'idéaux premiers.

La définition abstraite des anneaux de Dedekind que nous formulons ici a été donnée pour la première fois, en 1927, par la mathématicienne allemande Emmy Noether.

•  Anneaux de Dedekind

Par définition, on appelle anneau de Dedekind tout anneau intégralement clos et noethérien (c'est-à-dire dans lequel tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments) dans lequel tout idéal premier non nul est maximal. Cela signifie que le quotient de A par un idéal premier non nul quelconque est non seulement un anneau d'intégrité mais même un corps.

L'exemple le plus simple d'un tel anneau est l'anneau Z [√

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