Accueil - Boutique - Contact - Assistance
Zone de recherche

Altas Auteurs Recherche thématique Dictionnaire
 

ANNEAUX COMMUTATIFS

Page précédente Page suivante

2.  L'arithmétique élémentaire et les anneaux principaux

Un anneau principal est un anneau d'intégrité dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire formé des multiples d'un même élément, appelé générateur de l'idéal. L'étude de la divisibilité dans un tel anneau est analogue à la théorie arithmétique élémentaire des nombres entiers, qui en constitue d'ailleurs un cas particulier. L'étude de la divisibilité dans l'anneau K [X] des polynômes à une variable sur un corps K rentre aussi dans ce cadre.

•  Exemples

a) Montrons que l'anneau Z des entiers relatifs est principal. La démonstration repose sur la propriété suivante de divisibilité dans cet anneau : étant donné deux entiers rationnels a et b, b > 0, il existe un couple et un seul d'entiers rationnels q et r tels que :

les nombres q et r s'appellent respectivement le quotient et le reste de la division de a par b. Soit donc maintenant a un idéal de Z. Si a = {0}, on a a = (0) ; sinon a contient des éléments strictement positifs puisque avec tout élément a il contient son opposé − a = ( − 1) a. Soit b le plus petit élément strictement positif de a ; montrons que tout élément a de a est un multiple de b. En effet, l'existence de la division dans Z permet d'écrire a = bq + r, 0 ≤ r < b ; or le multiple bq de b appartient à a, donc aussi r = a − bq : la définition de b entraîne r = 0.

b) Un autre exemple important d'anneau principal est l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K. La démonstration repose ici encore sur l'existence dans cet anneau d'une division « euclidienne » : si A et B sont des polynômes, il existe un couple et un seul de polynômes Q […]

… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 9 pages… Offre essai 7 jours

Thématique

Classification thématique de cet article :

Retour en haut

Autres références

« ANNEAUX COMMUTATIFS » est également traité dans :

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Espèces de structures plus riches que celle d'annoïde"  : …  interne l⊤, c'est-à-dire que :

 

Tout anneau est un annoïde. *Un anneau (E, l⊤, l⊥) est dit commutatif (respectivement unifère ou unitaire) si (E, l⊥) est commutatif (respectivement est un monoïde). Tout annoïde (E, λ⊤… Lire la suite
ANNEAUX & ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Définitions"  : …  la multiplication est de plus commutative, c'est-à-dire xy = yx ; un tel *anneau est alors dit commutatif. Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété ; comme on le verra au début du chapitre, le… Lire la suite
ARTIN EMIL (1898-1962)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Travaux divers et enseignement"  : …  d'Artin. Dans un mémoire de 1928, il étend certains résultats de la théorie des algèbres aux *anneaux commutatifs dans lesquels il n'existe pas de chaîne infinie décroissante d'idéaux à gauche ; ces anneaux sont appelés artiniens. Il appartenait aussi à Artin, en collaboration avec O. Schreier, de montrer l'importance des corps ordonnés. Pour… Lire la suite
CONSTRUCTION, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

…  de ℕ, à savoir l'addition et la multiplication. Elles y gardent l'essentiel de leurs propriétés. *L'ensemble des entiers relatifs est ainsi structuré en anneau commutatif. Cela dit, une opération partielle de ℤ ne peut être partout définie : il s'agit cette fois-ci de la division, puisque, si a et b sont donnés, il est… Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR

Dans le chapitre "La notion d'algèbre normée"  : …  . 3). Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach. *Si la multiplication interne est commutative, on parle d'algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d'algèbre normée unitaire… Lire la suite
POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Définition"  : …  Soit A un *anneau commutatif unitaire. On appelle polynôme à une indéterminée (cette terminologie sera justifiée plus loin) à coefficients dans A toute suite : d'élément de A nuls sauf au plus un nombre fini d'entre eux (c'est-à-dire tous nuls à partir d'un certain rang). Les éléments ai sont les … Lire la suite

Afficher la liste complète (6 références)

Retour en haut

Média

Média de cet article dans l'Encyclopædia Universalis :

Rapports entre les différents anneaux

Retour en haut

Voir aussi

Retour en haut

Accueil - Contact - À propos
Consulter les articles d'Encyclopædia Universalis : 0-9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Consulter les articles d'Encyclopædia Britannica.
© 2012, Encyclopædia Universalis France S.A. Tous droits de propriété industrielle et intellectuelle réservés.

chargement du média