2. Calcul des probabilités
Le nom de Kolmogorov est associé principalement au calcul des probabilités. Depuis les premiers travaux de Tchebychev, ce domaine était un sujet de prédilection de l'école mathématique russe. Les motivations de ce dernier, de Liapounov, de Markov, de Bernstein et de bien d'autres avaient été essentiellement d'établir des énoncés de plus en plus rigoureux des lois limites sous des conditions précises de validité.
En 1925, Kolmogorov cosigne avec son aîné Khintchine un article sur la convergence presque sûre d'une série de variables aléatoires. La justification analytique repose sur la célèbre inégalité de Kolmogorov que l'on trouve de nos jours dans les manuels élémentaires. Elle est le fondement de la justification de la loi forte des grands nombres et de la théorie des martingales (théorème des trois séries de Kolmogorov). Mentionnons aussi sa généralisation en 1929 de la loi du logarithme itéré, due à Khintchine (1922), qui précise considérablement les conditions de convergence de la loi des grands nombres.
Un autre domaine de prédilection de l'école russe dans les premières années du xxe siècle fut l'étude des processus. Les premiers résultats sont dus à Markov sous des conditions fortes d'indépendance et de stationnarité. Dans un mémoire fondamental de 1931, Kolmogorov pose les premières bases de la théorie générale des processus stochastiques (continus). Toute l'étude analytique repose sur une équation intégrale universelle dite équation de Chapman-Kolmogorov. Kolmogorov s'intéressera jusqu'à la fin de sa vie aux processus.
Mais c'est l'axiomatisation de la théorie des probabilités dans le cadre totalement abstrait (sans aucune référence au concret) de la théorie de la mesure qui est la partie la plus connue de l'œuvre du grand mathématicien. Dans son petit ouvrage d'une soixantaine de pages Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsreichnung, publié en allemand chez Springer en 1933, il introduit le désormais classique concept d'espace probabili […]
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