8. Groupes de Lie et espaces fibrés
Vers le milieu du xixe siècle, à côté des groupes de permutations d'ensembles finis, introduits au début du siècle par Cauchy et Galois, on est peu à peu amené, dans des problèmes de géométrie, ou en vue d'intégration d'équations différentielles ou aux dérivées partielles, à considérer des groupes dont les éléments sont des transformations d'un espace Rn ou d'une portion de cet espace, la loi du groupe étant (comme pour les permutations) la composition des transformations ; en général, ces groupes sont formés d'une infinité de transformations, dépendant de paramètres qui varient « continûment ». Par exemple, les homothéties :
D'une façon générale, les transformations d'un groupe seront de forme St : x ↦ f (x, t), où x varie dans une variété différentielle M, le « paramètre » t dans une variété différentielle G et f est une application différentiable de M × G dans M (dans le premier exemple précédent, G est l'ouvert R − {0} complémentaire de 0 ; dans le second, G est la sous-variété de R9 formée des matrices orthogonales).
Puisque les transformations St doivent former un groupe, on doit avoir StSt′
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