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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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5. Mesure et intégration

La conception de l'intégrale au xviii^e siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f (x), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b, l'intégrale :

était l'aire comprise entre la courbe y = f (x), l'axe Ox et les deux droites x = a et x = b. Avec la remise en ordre générale de l'analyse entreprise par Cauchy, on revient à une définition rigoureuse n'empruntant rien à l'intuition de l'espace : la valeur de l'intégrale est par définition prise comme limite, pour n tendant vers + ∞, des sommes :

dites souvent « sommes de Riemann » (bien qu'en fait l'idée de considérer ces « valeurs approchées » de l'intégrale remonte à Eudoxe et Archimède et ait été l'inspiration des inventeurs du calcul intégral au xvii^e siècle). La contribution de Riemann lui-même fut de s'apercevoir que les sommes précédentes ont encore une limite lorsque la fonction f n'est plus nécessairement continue, mais a un ensemble de points de discontinuité qui, pour tout ε > 0, peut être contenu dans une réunion finie d'intervalles dont la somme des longueurs est ≤ ε.

L'intérêt propre de ce résultat était assez mince, mais il déclencha, dans le dernier tiers du xix^e siècle, toute une série d'études en vue de définir, dans des cas aussi généraux que possible, une notion de « mesure » des sous-ensembles de R, et d'« intégrale » d'une fonction de variable réelle. Elles devaient finalement aboutir, vers 1900, avec Émile Borel et Henri Lebesgue, à la définition de l'« intégrale de Lebesgue », que l'expérience a montré être la notion d'« intégrale » commode et féconde pour d'innombrables applications.

D'autre part, en vue d'étudier un problème particulier d'analyse, Stieltjes, en 1894, élargit la définition tra […]

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ABEL NIELS HENRIK (1802-1829): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
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BOLZANO BERNARD (1781-1848): Écrit par : Jan SEBESTIK
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BOURGAIN JEAN (1954- ): Écrit par : Bernard PIRE
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CARLEMAN TORSTEN (1892-1949): Écrit par : Jacques MEYER
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CARTWRIGHT MARY LUCY (1900-1998): Écrit par : Bernard PIRE
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CONNES ALAIN (1947- ): Écrit par : Jacques TITS
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Dans le chapitre "Dynamique du continu et du discret" : … » (en vue d'une forme stricte), annonçant par là même tout ce que nous venons de dire. Le mot *analyse, de son côté, signifie en langue naturelle décomposition du global, mouvement vers le détail : le regard analysant « resserre » sa visée, s'intéresse à la complexité de ce qui se passe dans un lieu réduit (il peut y avoir une infinie… Lire la suite
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HARDY GODFREY HAROLD (1877-1947): Écrit par : Jacques MEYER
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INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler): Écrit par : Bernard PIRE
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KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893): Écrit par : Jean ITARD
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LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE (1866-1962): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l'université de Louvain de 1891 jusqu'à sa retraite. Il fut membre de l'Académie belge (1909), membre associé étranger de l'Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical Society (1952), président honoraire de l'Union… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suite
L'HOSPITAL GUILLAUME DE (1661-1704): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien français né et mort à Paris. Guillaume de L'Hospital, marquis de Sainte-Mesme, a été l'un des premiers élèves de Jean Bernoulli qui lui enseigna les méthodes nouvelles de l'analyse mathématique. Il a fait connaître à l'ensemble des mathématiciens les travaux de Leibniz et des Bernoulli et a introduit la notation différentielle dans… Lire la suite
LITTLEWOOD JOHN EDENSOR (1885-1977): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse. Né le 9 juin 1885 à Rochester dans le Kent, John Edensor Littlewood est le fils du mathématicien Edward Thornton Littlewood, qui avait été nommé en 1892 directeur d'une école de Wynberg en Afrique du Sud. Il quitte sa famille en 1900 pour suivre les cours de l'école Saint Paul de Londres, puis… Lire la suite
MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922): Écrit par : Universalis
… *Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour… Lire la suite
MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES: Écrit par : Jean Toussaint DESANTI
Dans le chapitre "La rénovation de l'analyse" : … *La rupture de « style » date, on le sait, de la première moitié du xix^e siècle. Elle est due pour l'essentiel à Carl Friedrich Gauss, à Augustin-Louis Cauchy, à Niels Henrik Abel et à Bernhard Bolzano. Elle affecte principalement l'analyse mathématique et consiste à dégager le domaine (le système des nombres réels) dans lequel… Lire la suite
MÉCANIQUE - Histoire de la mécanique: Écrit par : Pierre COSTABEL
Dans le chapitre "La mécanique classique" : … de la force en fonction de la qualification de réalisme, on s'engage dans des querelles de mots. L'*analyse mathématique situe la querelle à un autre niveau : entre les formes différentielles et les formes intégrales des équations fondamentales du mouvement, quelles sont celles qu'il vaut mieux choisir pour base ? D'Alembert opte résolument pour… Lire la suite
ONDELETTES: Écrit par : Alexandre GROSSMANN, Bruno TORRESANI
Dans le chapitre "2. Une représentation efficace" : … comme l'ont montré Y. Meyer et ses collaborateurs. Une des problématiques traditionnelles de *l'analyse mathématique est la caractérisation de ce que l'on appelle les propriétés de régularité des fonctions. Très grossièrement, la régularité d'une fonction traduit la rapidité avec laquelle elle varie. Plus précisément, les fonctions sont… Lire la suite
OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout… Lire la suite
PARSEVAL DES CHÊNES MARC-ANTOINE (1755-1836): Écrit par : Bernard PIRE
… l'Empereur qui ordonne l'arrestation de son auteur. Prévenu à temps, celui-ci peut fuir la France. *Les cinq articles mathématiques écrits par Parseval ont tous été présentés à l'Académie des sciences et publiés ensemble en 1806. Le premier, titré « Mémoire sur la résolution des équations aux différences partielles linéaires du second ordre », date… Lire la suite
PICARD ÉMILE (1856-1941): Écrit par : Michel HERVÉ
Le* mathématicien français Charles Émile Picard fut un analyste profond et inspiré, un travailleur infatigable et un professeur captivant. Trois guerres le frappèrent durement, mais sa carrière ne compta que des succès rapides : agrégé et docteur la même année, à vingt et un ans ; professeur à la Sorbonne à… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912): Écrit par : Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY
Dans le chapitre "L'œuvre scientifique" : … d'une variable complexe. Ce faisant, il proposait des notions nouvelles et importantes pour *l'analyse, comme les fonctions à espaces lacunaires et les fonctions algébroïdes. Il reprit ensuite le problème d'un autre point de vue, considérant des équations différentielles à coefficients réels – et, dans un premier temps, du premier degré – et… Lire la suite
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange): Écrit par : Bernard PIRE
*Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage… Lire la suite
ROBINSON ABRAHAM (1918-1974): Écrit par : Daniel ANDLER
… *Mathématicien et logicien américain d'origine allemande. Né à Waldenburg, en Allemagne (l'actuelle Walbrzych polonaise), dans une famille intellectuelle sioniste, Abraham Robinson émigre en Palestine avec sa famille en 1933. Tout en gagnant sa vie et en suivant l'entraînement militaire de la Haganah, il étudie les mathématiques à l'université… Lire la suite
SINGER ISADORE MANUAL (1924- ): Écrit par : Bernard PIRE
… du Massachusetts Institute of Technology où il accomplira la quasi-totalité de sa carrière. *Spécialiste de l'analyse, Singer s'intéresse particulièrement à la théorie des variétés complexes, généralisation des surfaces de Riemann au cas de plusieurs variables. Il invente avec Richard V. Kadison les algèbres d'opérateurs triangulaires. Avec… Lire la suite
STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894): Écrit par : Jeanne PEIFFER
… *Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois générales à travers les particularités de l'exemple. Fils… Lire la suite
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier): Écrit par : Bernard PIRE
*Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont joué un rôle fondamental dans le… Lire la suite
THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz): Écrit par : Bernard PIRE
*Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée des nombreuses… Lire la suite
TITCHMARSH EDWARD CHARLES (1899-1963): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse classique. Né le 1^er juin 1899 à Newbury dans le Berkshire, Edward Charles Titchmarsh était le second fils d'un pasteur congrégationnaliste. Lauréat d'une bourse pour étudier au collège Balliol de l'université d'Oxford, il commence ses études supérieures en 1917, mais est envoyé en août… Lire la suite
WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897): Écrit par : Michel HERVÉ
La longue vie de Weierstrass fut entièrement consacrée à* l'analyse mathématique et peu de savants exercèrent sur leur science une influence aussi profonde, durable et bienfaisante. D'abord professeur à l'Institut militaire prussien, Weierstrass passera en 1856 à l'université de Berlin, où il donnera… Lire la suite
YOUNG WILLIAM HENRY (1863-1942): Écrit par : Bernard PIRE
… *Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse. Né le 20 octobre 1863 à Londres, William Henry Young était le fils aîné d'un épicier baptiste. Admis à l'université de Cambridge en 1881, il s'y révèle extrêmement doué en mathématiques. Il se convertit à l'Église anglicane et se consacre à la théologie tout en gagnant sa vie en donnant des cours… Lire la suite

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