3. Équations différentielles et équations aux dérivées partielles
Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.
Dans l'étude de ces équations, le xixe siècle se marque encore par un changement de point de vue assez net : au xviiie siècle, on se souciait surtout de trouver des méthodes d'étude pour des équations de type assez spécial, mais donnant les solutions sous forme explicite, par des « quadratures » portant sur des combinaisons algébriques des fonctions données (autrement dit, on cherchait à ramener les équations proposées à des résolutions d'équations du type particulier y′ = f(x), comme on avait cherché à résoudre les équations algébriques en les ramenant aux équations binômes xn = a).
Au contraire, à partir de Cauchy, on s'attaque aux équations les plus générales, et on précise les « conditions initiales » additionnelles auxquelles on assujettit les solutions, de façon à obtenir, sous des conditions très larges, des théorèmes d'existence et d'unicité, ainsi que des procédés d'approximation de la solution. Mentionnons seulement ici les deux plus simples de ces théorèmes : pour une équation différentielle de la forme y′ = f(x, y) avec second membre continûment différentiable, il existe, au voisinage d'un point x0, une et une seule solution y = u(x) de l'équation telle que u(x0) soit un nombre donné y0. De même, pour une équation aux dérivées partielles de la forme :
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