1. La théorie des fonctions analytiques
La notion de fonction remonte au xviie siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x0, former la série de Taylor de f au point x0 :
Le début du xixe siècle est caractérisé tout d'abord par un retour à la rigueur, notamment dans l'emploi des séries, où, sous l'influence de Gauss et surtout d'Abel et de Cauchy, il est assez rapidement admis qu'une série n'a de sens que lorsqu'on a prouvé sa convergence. Or, une fonction d'une variable réelle peut être indéfiniment dérivable dans un intervalle |x − x0| ≤ α, sans que sa série de Taylor au point x0 converge pour x ≠ x0 ; il se peut aussi que la série de Taylor au point x0 soit convergente pour tout x, mais que sa somme soit différente de la fonction d'où l'on est parti (ce dernier cas se présente par exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur s […]
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