2. Les algèbres normées commutatives
Nous allons examiner quelques propriétés fondamentales des algèbres normées en présentant d'abord la théorie dans le cas des algèbres normées commutatives et unitaires.
• Idéaux maximaux et caractères
L'étude des idéaux maximaux est sans doute l'outil le plus puissant pour obtenir des propriétés des algèbres normées commutatives unitaires.
Indiquons brièvement qu'un idéal d'une algèbre normée commutative A est une partie I de A qui est un sous-espace vectoriel de A et qui, d'autre part, contient l'élément ab dès que a est un élément de I et b un élément quelconque de A. Évidemment A est un idéal (peu intéressant !) de A. Un idéal est dit maximal s'il n'est contenu strictement dans aucun idéal autre que l'algèbre A elle-même.
On appelle caractère de l'algèbre normée commutative unitaire A tout homomorphisme non identiquement nul de A dans C : autrement dit, un caractère de A est une fonction χ définie sur A, à valeurs complexes, non identiquement nulle, telle que, quels que soient λ dans C, et a et b dans A, on ait :
Il est facile de vérifier que le noyau d'un caractère, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de A où s'annule ce caractère, est un idéal maximal. En fait, caractères et idéaux maximaux satisfont aux propriétés suivantes :
a) Tout idéal propre (c'est-à-dire distinct de A) est contenu dans au moins un idéal maximal ;
b) Tout idéal maximal est fermé pour la topologie définie par la norme sur A ;
c) Tout idéal maximal est le noyau d'un caractère bien déterminé, et tout caractère admet pour noyau un idéal maximal : cela établit une correspondance biunivoque entre les idéaux maximaux et les caractères.
Les deux dernières propriétés entraînent le fait remarquable que, pour une algèbre normée commutative unitaire, tout caractère (défini uniquement par des propriétés algébriques) est automatiquement continu.
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